Two Derivative Runge-Kutta μέθοδοι. Εφαρμογή στο πρόβλημα Rigid Body

Abstract

Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των μεταπτυχιακών σπουδών μου στο Π.Μ.Σ. Προηγμένες τεχνολογίες πληροφορικής. Το θέμα της εργασίας είναι οι μέθοδοι Runge-Kutta με χρήση δεύτερης παραγώγου. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αναφέρονται βασικές πληροφορίες για τις διαφορικές εξισώσεις αλλά και για τις αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούμε για την επίλυσή τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρονται οι αριθμητικές μέθοδοι Runge-Kutta και οι συνθήκες τάξης των μεθόδων. Οι συνθήκες τάξης υπολογίστηκαν με το ανάπτυγμα Taylor, η διαδικασία αυτή αναφέρεται για τη δεύτερη τάξη των μεθόδων , αλλά και με την θεωρία των δέντρων. Αναφέρεται επίσης η μέθοδος του Euler που είναι μια από τις παλαιότερες αριθμητικές μεθόδους και είναι μια ειδική περίπτωση μεθόδου Runge-Kutta ενός σταδίου και η μέθοδος Heun. Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στις μεθόδους Two Derivative Runge-Kutta και στις συνθήκες των μεθόδων αυτών, οι οποίες υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας τη θεωρία των δέντρων. Στο τέταρτο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται αναφορά στην κατασκευή των μεθόδων Two Derivative Runge-Kutta και δίνονται συγκεκριμένες μέθοδοι Two Derivative Runge-Kutta για κάθε τάξη. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται αναφορά στο πρόβλημα rigid body το οποίο χρησιμοποιήθηκε και δίνονται τα αριθμητικά αποτελέσματα των προγραμμάτων Two Derivative Runge-Kutta μεθόδων που υλοποιήθηκαν με χρήση MATLAB.