Αριθμητική επίλυση πεπλεγμένων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως με μεθόδους Runge-Kutta & Runge-Kutta-Nyström. Εφαρμογή σε πλανητικά συστήματα τριών σωμάτων.

Abstract

Στόχος της παρούσας διατριβής είναι να αναλύσει τις αριθμητικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Γίνεται μελέτη των μεθόδων Runge Kutta και RungeKutta Nyström. Γίνεται εφαρμογή σε πλανητικά συστήματα δύο και τριών σωμάτων ελέγχοντας αναμενόμενα αποτελέσματα υπό συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες. Αρχικά ξεκινώντας στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια θεωρητική ανάλυση των διαφορικών εξισώσεων. Περνάμε στην ανάπτυξη των πρώτων μεθόδων αριθμητικής επίλυσης και παραθέτουμε ως πρώτη προσπάθεια αριθμητικής επίλυσης την κλασική μέθοδο Euler, στη συνέχεια παραθέτουμε και την μέθοδο Numerov ή Cowell. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια πρώτη συστηματική ανάπτυξη των αριθμητικών μεθόδων. Παραθέτονται οι μέθοδοι RungeKutta δύο σταδίων και δίνεται αναλυτικά η μέθοδος κατασκευής της μεθόδου. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται ανάπτυξη της μεθόδου RungeKuttaNyström. Είναι μια μέθοδος επίλυσης δευτεροβάθμιων διαφορικών εξισώσεων στις οποίες δεν εμφανίζεται η πρώτη παράγωγος. Δίνεται αναλυτικά η μέθοδος κατασκευής της μεθόδους δύο και τριών σταδίων. Από το τέταρτο κεφάλαιο και έπειτα περνάμε στην εφαρμογή των μεθόδων. Γίνεται η κατασκευή των εξισώσεων κίνησης δύο σωμάτων υπό τις βαρυτικές τους αλληλεπιδράσεις. Ακολουθεί μελέτη του προβλήματος μέσω Νευτώνιας και Αναλυτικής Μηχανικής και δημιουργούνται οι εξισώσεις κίνησης με τους δύο τρόπους. Στο πέμπτο κεφάλαιο επεκτείνουμε τη μελέτη μας στο περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων. Για την κατασκευή των εξισώσεων κίνησης ακολουθείται η μέθοδος της Αναλυτικής Μηχανικής. Στο έκτο και έβδομο γίνονται επεξηγήσεις για τον τρόπου που θα κατασκευαστεί το πρόγραμμα και για την υλοποίηση που γίνεται μέσω του Octave τόσο για το πλανητικό σύστημα των δύο όσο και των τριών σωμάτων. Στο όγδοο κεφάλαιο παραθέτουμε τις γραφικές παραστάσεις και γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων.