Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων με πολυβηματικές μεθόδους και εφαρμογές στην εκπαίδευση

Abstract

Αντικείμενο της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη της επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων με την χρήση πολυβηματικών μεθόδων. Για την προγραμματιστική υλοποίηση των μεθόδων χρησιμοποιήθηκε η γλώσσα matlab (έκδοση R2015a). Στο πρώτο κεφάλαιο παρατίθενται βασικές έννοιες των συνήθων διαφορικών εξισώσεων καθώς επίσης και έννοιες για τη συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων υπολογισμού προσεγγιστικών λύσεων. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί παρουσιάζονται εν συντομία οι μέθοδοι απλού βήματος με έμφαση στις μεθόδου Runge Kutta, μιας και η Runge Kutta τέταρτης τάξεως είναι η μέθοδος που κυρίως χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των αρχικών τιμών που είναι απαραίτητες στις πολυβηματικές μεθόδους. Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετώνται οι πολυβηματικές μέθοδοι Adams Bashforth, Adams Moulton, μέθοδοι πρόβλεψης διόρθωσης και εφαρμογές τους σε προβλήματα αρχικών τιμών. Στην συνέχεια, παρουσιάζονται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξεως, εξισώσεις που συχνά εμφανίζονται σε εφαρμογές. ΄Έπειτα, ακολουθεί μια σύντομη παρουσίαση των προβλημάτων συνοριακών τιμών και παραδείγματα επίλυσης χαρακτηριστικών προβλημάτων με την μέθοδο σκόπευσης. Τέλος, σε παράρτημα, παρατίθενται οι κώδικες σε matlab που χρησιμοποιήθηκαν. The purpose of this thesis is to study the solution of ordinary differential equations using multi-step methods. The programming language matlab (version R2015a) was used to implement the methods. The first chapter presents basic concepts of ordinary differential equations as well as concepts for the behavior of numerical approximation solutions. The following section briefly outlines the simple-step methods with emphasis on the Runge Kutta method, as the fourth-order Runge Kutta is the method mainly used to calculate the initial values needed in multi-step methods. The third chapter discusses the multi-step methods Adams Bashforth, Adams Moulton and predictor -corrector methods and applying them to initial value problems. Numerical methods for solving ordinary second order differential equations is being reviewed on next chapter. Such equations are often applied in applications. Next, a brief presentation of boundary value problems and examples of characteristic problem solving with the shooting method is followed. Finally, the matlab codes used are included.