Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδοι Runge - Kutta

Abstract

Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια της ολοκλήρωσης του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών Προηγμένες Τεχνολογίες Πληροφορικής και Υπηρεσίες. Στόχος ήταν η διερεύνηση της αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, με άμεσες μεθόδους Runge - Kutta 4ης, 5ης και 6ης τάξης καθώς και με τριγωνομετρικά προσαρμοσμένες αριθμητικές μεθόδους κατά V.Berghe. Αρχικά έγινε μία αναφορά στις διαφορικές εξισώσεις και αναλύθηκε η λογική της αριθμητικής επίλυσης τους με την βοήθεια των αναπτυγμάτων Taylor. Έπειτα αναφέρθηκαν οι πρώτες αριθμητικές μέθοδοι Runge - Kutta και παρουσιάστηκε η μετάβαση τους σε μεγαλύτερες τάξεις. Υπολογίστηκαν οι συνθήκες τάξης με τη βοήθεια του αναπτύγματος Taylor μέχρι 4η τάξη ενώ δόθηκαν οι συνθήκες και κατασκευάστηκαν οι μέθοδοι μέχρι και την 6η τάξη. Η διαδικασία επαναλήφθηκε σε μορφή πινάκων και σε μορφή δέντρων. Στη συνέχεια ερευνήθηκε μία ειδική κατηγορία αριθμητικών μεθόδων Runge -Kutta , οι μέθοδοι εκθετικής/τριγωνομετρικής προσαρμογής με βάση την θεώρηση του V.Berghe. Κατασκευάστηκαν και εδώ οι μέθοδοι μέχρι την 6η τάξη οπότε και βρέθηκαν οι θεωρητικοί τύποι των διορθωτικών συντελεστών που απαιτούνται για να επιτευχθεί η τριγωνομετρική προσαρμογή των μεθόδων Runge - Kutta. Τέλος η έρευνα επικεντρώθηκε στο πρόβλημα δύο σωμάτων του Kepler , παρουσιάστηκαν οι διαφορικές εξισώσεις που απαιτούνται για την επίλυση του και εφαρμόστηκαν σε αυτές τόσο οι άμεσες μεθόδους Runge - Kutta 4ης, 5ης και 6ης τάξης όσο και η αντίστοιχη τριγωνομετρική τους προσαρμογή κατά V.Berghe. Αξιολογήθηκαν και συγκρίθηκαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν. This study is done as part of a master’s degree program called ’Modern Information Technologies and Services’. The research aimed in studying the numerical solution of differential equations, in one aspect, with explicit Runge - Kutta methods (ERK) 4th, 5th and 6th order and, in another aspect, with Vanden Berghe’s trigonometrically fitted numerical methods (TF) for the same orders. Initially there is a refference to differential equations in general and the way numerical methods solves them using Taylor development. The first numerical Runge - Kutta methods are mentioned and their behaviour in greater orders in presented. Order conditions are analyzed using Taylor development untill 4th order, conditions are given and the numerical methods are constructed up to 6th order. The prosess is repeated in matrix and tree formation. Following, a special category of Runge - Kutta’s numerical methods, called exponentially / trigonometrically fitted methods by Vanden Berghe, is researched. Order conditions are given and the numerical methods are constructed up to 6th order, for these methoms also, and the theoretic equations for ajustment parameters of the methods are calculated. Finally, Kepler’s two bodies problem is studied and the differential equations needed are analyzed. Explicit Runge - Kutta methods of 4th, 5th and 6th order and the respective order Vanden Berghe’s trigonometrically fitted numerical methods are used to solve Kepler’s problem. Results are compared.