Η κατανόηση της πυκνής διάταξης των ρητών: Μια μελέτη περίπτωσης

Abstract

Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται έρευνα με στόχο την διερεύνηση της κατανόησης της πυκνής διάταξης των ρητών αριθμών από 15 μαθητές της Β’ τάξης του λυκείου. Η δυσκολία της κατανόησης της πυκνής διάταξης των ρητών εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο των δυσκολιών που προκαλεί η παρεμβολή της προϋπάρχουσας γνώσης για τους φυσικούς αριθμούς στη μάθηση των ρητών. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα αυτό χρειάζεται εννοιολογική αλλαγή στον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές αντιμετωπίζουν τους φυσικούς και τους ρητούς αριθμούς. Η κατανόηση αναπτύσσεται σταδιακά περιοριζόμενη από την προϋπάρχουσα γνώση για τους φυσικούς αριθμούς και απαιτείται σημαντική αναδιοργάνωση. Στην παρούσα εργασία υιοθετήθηκε η προσέγγιση της θεωρίας πλαισίου στην εννοιολογική αλλαγή, υπό το πρίσμα της οποίας εξετάστηκαν δύο πτυχές της πυκνής διάταξης των ρητών αριθμών, η απειρία μεταξύ δύο οποιονδήποτε αριθμών και η μη ύπαρξη του επόμενου στους ρητούς. Αυτές οι δύο πτυχές δυσκολεύουν τους μαθητές και υπάρχουν στοιχεία ότι η κατανόηση της μίας πτυχής δεν συνεπάγεται την άλλη, παρόλο που από μαθηματική άποψη συνδέονται άρρηκτα. Οι μαθητές συμμετείχαν σε ατομικές συνεντεύξεις. Στην πρώτη συνέντευξη έγινε προέλεγχος στον οποίο εξετάστηκε κατά πόσο οι μαθητές γνωρίζουν ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί μεταξύ δύο ρητών αριθμών και κατά πόσο γνωρίζουν ότι δεν υπάρχει ο επόμενος αριθμός οποιουδήποτε ρητού αριθμού. Οι μαθητές απάντησαν σε εννέα έργα. Οι επτά ερωτήσεις είχαν ως θέμα την απειρία μεταξύ δύο ρητών αριθμών και τα δύο έργα είχαν ως θέμα τον «επόμενο» αριθμό ενός ρητού αριθμού. Όπως φάνηκε στον προέλεγχο μόνο 5 από τους 15 μαθητές απαντούν σταθερά σε όλες τις ερωτήσεις ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί ενδιάμεσα από δύο ρητούς αριθμούς σε όποια μορφή και αν είναι δοσμένοι οι αριθμοί. Κανένας μαθητής δεν απάντησε ότι δεν υπάρχει ο επόμενος αριθμός ενός ρητού αριθμού. Κάποιοι συμφωνούσαν στα δύο δεκαδικά ψηφία και κάποιοι πρότειναν έναν αριθμό με περισσότερα δεκαδικά ψηφία ως τον επόμενο ενός ρητού αριθμού. Χρησιμοποιήθηκε ο αριθμητικός μέσος δύο αριθμών, ο οποίος θεωρητικά θα μπορούσε να βοηθήσει στην κατανόηση των δύο πτυχών της πυκνής διάταξης. Μετά την παρέμβαση ακολούθησε o μεταέλεγχος και στην συνέχεια ακολούθησαν δυο έργα μεταφοράς. Στο πρώτο ζητήθηκε από τους μαθητές η πρώτη και η τελευταία τιμή μιας μεταβλητής σε ένα ανοιχτό διάστημα και στο δεύτερο ζητήθηκε να προσδιορίσουν πόσοι αριθμοί είναι ανάμεσα σε δυο οποιουσδήποτε αριθμούς α και Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι κάποιοι μαθητές δέχονται την απειρία μεταξύ δύο αριθμών, αλλά όλοι οι μαθητές συνεχίζουν να θεωρούν ότι υπάρχει ο αμέσως επόμενος κάποιου ρητού αριθμού. Θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι, οι μαθητές που δέχονται την απειρία αλλά δεν δέχονται την μη ύπαρξη του επόμενου, έχουν μια συνθετική αντίληψη της διάταξης των ρητών αριθμών, όπως προβλέπεται από τη θεωρία πλαισίου στην εννοιολογική αλλαγή.This paper presents research aimed at investigating the comprehension of the dense ordering of rational numbers by 15 students of 2nd grade of high school. The difficulty of comprehending the dense arrangement of rational is part of the general context of the difficulties caused by the interference of pre-existing knowledge of natural numbers in the learning of rational. To address this problem requires a conceptual change in the way students handle natural and rational numbers. Understanding develops gradually, limited by pre-existing knowledge of natural numbers, and significant reorganization is required. The present work adopted the framework theory approach to conceptual change, in the light of which two aspects of the dense order of rational numbers were examined, the infinity between two numbers and the non-existence of the next in the rational. These two aspects make it difficult for students and there is evidence that understanding one aspect does not imply the other, although they are mathematically inextricably linked. The students participated in individual interviews. In the first interview, a pre-test was conducted to examine, whether students know that there are infinite numbers between two rational numbers and whether they know that there is no next number of any rational number. The students responded to nine projects. The seven questions were about the infinity between two rational numbers and the two projects were about the "next" number of a rational number. As shown in the pre-test, only 5 out of 15 students consistently answer all questions that there are infinite numbers between two rational numbers in whatever form the numbers are given. No student replied that the next number does not have a rational number. Some agreed to two decimal places and some suggested a number with more decimal places as the next of a rational number. The arithmetic mean of two numbers was used, which could theoretically help to understand the two aspects of the dense arrangement. The intervention was followed by a post-test followed by two transfer projects. In the first the students were asked the first and last value of a variable in an open space and in the second they were asked to determine how many numbers are between any two numbers a and b. The results show that some students accept the infinity between two numbers, but all students continue to think that there is an immediate next number to a rational number. It could be assumed that students who accept infinity but do not accept the non-existence of the next number have a synthetic understanding of the order of rational numbers, as provided by framework theory in conceptual change.