Στρατηγικές νοερού υπολογισμού σε πρόσθεση και αφαίρεση με ακεραίους

Abstract

Η σημασία των νοερών υπολογισμών και των στρατηγικών τους είναι αδιαμφισβήτητη, εάν σκεφτεί κανείς τη χρησιμότητά τους στην καθημερινή ζωή έναντι των γραπτών αλγορίθμων. Επιπλέον, οι νοεροί υπολογισμοί συμβάλλουν στην ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού, και στην ανάπτυξη αρκετών γνωστικών ικανοτήτων, όπως στην ευελιξία μεταξύ των στρατηγικών που χρησιμοποιούνται. Αρκετές μελέτες έχουν διερευνήσει τις στρατηγικές νοερού υπολογισμού των μαθητών στους φυσικούς ή στους ρητούς αριθμούς. Οι περισσότερες από αυτές εστιάζουν στις νοερές στρατηγικές των μαθητών σε πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών, κλασμάτων και δεκαδικών, ενώ ελάχιστες διερευνούν την περίπτωση των ακεραίων. Η παρούσα μελέτη έχει στόχο να διερευνήσει τις στρατηγικές νοερού υπολογισμού των μαθητών της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης στην πρόσθεση και την αφαίρεση μεταξύ ακεραίων και την ευελιξία τους με αυτές. Πιο συγκεκριμένα, διερευνά τις στρατηγικές προσέγγισης που χρησιμοποιούν οι μαθητές, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο παίρνουν αποφάσεις για το πρόσημο του αποτελέσματος και την πράξη (πρόσθεση ή αφαίρεση) μεταξύ των απόλυτων τιμών των ακεραίων, τις στρατηγικές μετασχηματισμού που χρησιμοποιούν, δηλαδή τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται στους αριθμούς ώστε να προκύψει το αριθμητικό αποτέλεσμα, και την ευελιξία των μαθητών με τις παραπάνω στρατηγικές. Είκοσι επτά μαθητές της Β’ και Γ’ Γυμνασίου από δημόσια σχολεία της Ελλάδας συμμετείχαν στην έρευνα, δίνοντας προσωπικές συνεντεύξεις, οι οποίες ηχογραφήθηκαν. Δώδεκα πράξεις, οι οποίες περιείχαν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης ακεραίων, όπως η πράξη -86+42, δόθηκαν στους μαθητές και έπειτα τους ζητήθηκε να τις λύσουν νοερά και να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν. Τα αποτελέσματα έδειξαν πως η πλειοψηφία των μαθητών μετέτρεψε τον υπολογισμό που περιείχε αρνητικούς αριθμούς σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα με φυσικούς αριθμούς, εφαρμόζοντας τους κανόνες που διέπουν την πρόσθεση και την αφαίρεση ακεραίων. Δηλαδή, η πλειοψηφία των μαθητών χρησιμοποίησε τη μετατροπή ως στρατηγική προσέγγισης. Στη συνέχεια, οι μαθητές χρησιμοποίησαν νοερές στρατηγικές μετασχηματισμού οι οποίες ήταν διαθέσιμες από το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ωστόσο, παρουσίασε αρκετό ενδιαφέρον το γεγονός πως κάποιοι μαθητές δε μετέτρεψαν το πρόβλημα ακεραίων σε πρόβλημα φυσικών. Πέντε νέες στρατηγικές για την πρόσθεση ετερόσημων ακεραίων προέκυψαν από τις απαντήσεις τεσσάρων μαθητών. Τέλος, η πλειοψηφία των μαθητών δεν παρουσίασε ευελιξία στη χρήση των στρατηγικών μετασχηματισμού.The significance of mental calculation instruction and its strategies is undeniable, considering their usefulness in everyday life compared to that of written algorithms. Also, students’ exercise with mental calculation contributes to the development of several mathematical concepts and skills, like deeper number sense, and numerous cognitive abilities, like flexibility between strategies used in calculations. Many studies investigate issues related to students’ mental calculation strategies in different sets of numbers like natural or rational numbers. Most of them emphasize students’ strategies in operations between natural numbers, fractions and decimals, while only a few investigate the case of integers. The current study examines secondary school students’ mental calculation strategies for addition and subtraction in the set of integers and their flexibility with them. Specifically, it investigates students’ approach strategies, that is the way they decide the sign of the result and the operation (addition or subtraction) between the absolute values of the integers, then it investigates students’ number-transformation strategies, which is the detailed way that the numbers were transformed to come to a solution, and students’ flexibility with the strategies above. Twenty seven 8th and 9th grade students from public schools of Greece participated by giving sound recorded individual interviews. Twelve tasks, that included addition and subtraction problems with integers, such as -86+42, were read out loud to them and then they were asked to solve them mentally and explain their thought process. The results showed that the majority of students mainly transformed the calculation involving negative numbers into an equivalent problem with natural numbers by applying the rules for addition and subtraction of integers. That means that most of the students use the transformation as approach strategy. Then they applied number-transformation mental strategies that were already available for natural numbers. However, interestingly enough, some students didn’t transform the problem of integers into a problem with natural numbers. Five new strategies for the addition between integers with different sign came up from four students’ responses. Also, most of the students didn’t seem to be flexible with the number-transformation mental strategies that they use.