Η διπλή επίδραση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού στην κατανόηση της έννοιας της μεταβλητής – Με ποιόν τρόπο επιδρά η ακεραιότητα και το φαινομενικό πρόσημο των αλγεβρικών παραστάσεων

Abstract

Οι μεταβλητές στην άλγεβρα αποτελούν αλφαβητικά σύμβολα που αναπαριστούν οποιονδήποτε αριθμό. Παρ’ όλα αυτά προηγούμενες έρευνες έχουν δείξει ότι εξαιτίας της προκατάληψης του φυσικού αριθμού οι μαθητές τείνουν να παρερμηνεύουν τις μεταβλητές θεωρώντας πρωταρχικά ότι αναπαριστούν μόνο φυσικούς αριθμούς. Προκατάληψη του φυσικού αριθμού ονομάζεται το φαινόμενο σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές χρησιμοποιούν την προϋπάρχουσα γνώση τους για τους αριθμούς - η οποία είναι οργανωμένη σε ένα ενιαίο σώμα γνώσης για τους αριθμούς όπου αυτοί έχουν τις ιδιότητες των φυσικών αριθμών – σε καταστάσεις όπου αυτή η γνώση δεν έχει εφαρμογή. Εξαιτίας αυτής της προκατάληψης, οι μαθητές τείνουν να θεωρούν ότι οι μεταβλητές αναπαριστούν πρωτίστως φυσικούς αριθμούς (π.χ. ότι το κ+3 αναπαριστά αριθμούς όπως 4, 6, 9 κλπ.) και κατά συνέπεια θεωρούν ότι το πρόσημο που φαίνεται να έχει μια αλγεβρική παράσταση (δηλαδή το φαινομενικό της πρόσημο) είναι το πρόσημο των αριθμητικών τιμών που μπορεί να αναπαραστήσει (π.χ. ότι το –β αναπαριστά μονάχα αριθμούς όπως -2,-3 κλπ.). Η παρούσα εργασία επιχειρεί να παρουσιάσει ποσοτικά δεδομένα από μια μελέτη στην οποία μαθητές κλήθηκαν να αξιολογήσουν μια σειρά από προτάσεις σχετικές με τις αριθμητικές τιμές αλγεβρικών παραστάσεων. 138 μαθητές της Β’ και Γ’ γυμνασίου απάντησαν σε ένα ερωτηματολόγιο με 48 ισχυρισμούς με αριθμούς που είναι ή δεν είναι δυνατό να αποδοθούν σε έξι αλγεβρικές παραστάσεις που περιείχαν μεταβλητές. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές έτειναν να συμφωνούν με τους ισχυρισμούς που ήταν σύμφωνοι με τη διαίσθησή τους ότι οι μεταβλητές αναπαριστούν φυσικούς παρά ρητούς αριθμούς και ότι οι αλγεβρικές παραστάσεις αναπαριστούν αριθμούς του ίδιου προσήμου με το φαινομενικό πρόσημο της κάθε παράστασης. Επιπλέον φάνηκε ότι η επίδραση της ακεραιότητας ήταν πιο ισχυρή από την επίδραση του φαινομενικού προσήμου.Variables are literal symbols that stand for any number. However, prior research has shown that due to a natural number bias students tend to misinterpret variables to stand primarily for natural numbers. Natural number bias is the phenomenon of students using their prior knowledge of numbers – which is organized in a coherent body of knowledge where numbers have the properties of natural numbers – in situations where this knowledge does not apply. Due to this bias, students tend to think that variables stand primarily for natural numbers (i.e. that k+3 stands for 3, 6, etc.) and as a result they tend to think that the sign an algebraic expression appears to have (i.e. its phenomenal sign) is the sign of the values it may only represent (i.e. that –b only stands for -2 etc.). This report aims to present quantitative results from a study where students had to evaluate a series of statements about the numerical value of algebraic expressions. 138 8th and 9th graders were given a questionnaire with 48 statements with numbers that can or cannot be assigned to six algebraic expressions that contained literal symbols. The results showed that students tended to agree with statements which were in line with their intuition that variables stand for whole numbers rather than rational numbers and that algebraic expressions stand for numbers of the same sign as the expressions’ phenomenal sign. It also appeared that the integrity effect was stronger than the phenomenal sign effect.