Όψεις της μαθηματικής γνώσης για τη διδασκαλία σχετικά με την έννοια του αριθμού. Μια εμπειρική μελέτη με εκπαιδευτικούς της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Abstract

Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια ποιοτική έρευνα με στόχο τη διερεύνηση της Μαθηματικής Γνώσης για τη Διδασκαλία εκπαιδευτικών της δευτεροβάθμιας σχετικά με βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως η πυκνή διάταξη των ρητών, η πυκνότητα των ρητών στους αρρήτους και αντίστροφα, η σχέση της πυκνότητας με τη συνέχεια και η 1-1 αντιστοιχία των αριθμών με τα σημεία της ευθείας. Για τη συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκαν ημι-δομημένες συνεντεύξεις με 15 εν ενεργεία μαθηματικούς, οι οποίοι απασχολούνται στην ιδιωτική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Οι συνεντεύξεις βασίστηκαν σε επτά διδακτικά σενάρια τα οποία δημιουργήθηκαν για τις ανάγκες της έρευνας, βασισμένα στη βιβλιογραφία. Οι συμμετέχοντες κλήθηκαν α) να αξιολογήσουν τις απαντήσεις υποθετικών μαθητών σε έργα που πραγματεύονται τις παραπάνω έννοιες β) να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης μαθητών που έδωσαν λανθασμένη απάντηση και γ) να δώσουν την απαραίτητη ανατροφοδότηση. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι εκπαιδευτικοί παρουσιάζουν ελλείμματα σε διάφορες κατηγορίες της Γνώσης Περιεχομένου και της Παιδαγωγικής Γνώσης Περιεχομένου για τα μαθηματικά. Όσον αφορά την Κοινή Γνώση Περιεχομένου, με μία μόνο εξαίρεση, όλοι οι συμμετέχοντες προέβησαν σε λανθασμένες αξιολογήσεις απαντήσεων των υποθετικών μαθητών σχετικά με τους αριθμούς, τα αριθμητικά σύνολα και τις ιδιότητες τους. Επιπλέον, εντοπίστηκαν ελλείμματα όσον αφορά τις μεθόδους τεκμηρίωσης. Συγκεκριμένα, συχνά οι συμμετέχοντες τεκμηρίωναν με πλημμελή επαγωγικό συλλογισμό, αντιμετωπίζοντας ως ασφαλές το γενικό συμπέρασμα στο οποίο κατέληγαν βασιζόμενοι σε ειδικές περιπτώσεις. Δυσκολίες παρατηρήθηκε και στην εξήγηση του τρόπου σκέψης των μαθητών από τους συμμετέχοντες (Γνώση του Περιεχομένου και των Μαθητών). Όσον αφορά την Εξειδικευμένη Γνώση Περιεχομένου, εντοπίστηκαν προβλήματα στον τρόπο με τον οποίο οι συμμετέχοντες επέλεξαν και χρησιμοποίησαν παραδειγματικές καταστάσεις κατά την ανατροφοδότηση. Τέλος, ένα ενδιαφέρον εύρημα ήταν ότι, κατά την ανατροφοδότηση, ελάχιστες ήταν οι περιπτώσεις στις οποίες περιεγράφηκε μια ουσιαστική συμμετοχή του μαθητή (Γνώση του Περιεχομένου και της Διδασκαλίας).The present paper presents a qualitative study aimed at investigating secondary school teachers’ Mathematical Knowledge for Teaching regarding fundamental properties of real numbers such as the dense ordering of rational numbers, the density of the set of rational numbers in the set of irrational numbers and vice versa, and the one-to-one correspondence between the real numbers and the points of the line. Semi-structured, task-based interviews were conducted with 15 mathematics teachers, employed in private Secondary Education. The interviews were based on seven classroom scenarios created for the needs of the study, based on the literature. Participants were asked a) to evaluate the responses of fictional students b) explain students’ thinking, and c) provide necessary feedback. The results showed shortcomings in various categories of Content Knowledge and Pedagogical Content Knowledge for mathematics teaching. As far as Common Content Knowledge is concerned, with one exception, all teachers made erroneous evaluations of students’ responses. In addition, their justifications were often based on flawed inductive reasoning (i.e., reaching a conclusion based on specific cases and assuming that the conclusion holds in the general case). They also faced difficulty explaining students’ thinking (Knowledge of Content and Students). Problems with choosing and using exemplars when providing feedback were also noted (Specialized Content Knowledge). Finally, an interesting finding was that teachers only rarely refer to any student participation in the process of feedback (Knowledge of Content and Teaching).