Δυσκολίες κατανόησης της έννοιας της μεταβλητής στην άλγεβρα. Φαινομενικό πρόσημο των παραστάσεων

Abstract

Η έρευνα αυτή επικεντρώθηκε στη μελέτη του φαινομενικού προσήμου των αλγεβρικών παραστάσεων και συγκεκριμένα, στο πρόσημο των αριθμών που οι μαθητές γυμνασίου θεωρούν ότι μπορεί να αποδοθούν σε αλγεβρικές παραστάσεις που έχουν φαινομενικά θετικό ή αρνητικό πρόσημο, καθώς και όταν οι παραστάσεις δεν έχουν κάποιο εμφανές φαινομενικό πρόσημο. Προηγούμενες μελέτες έχουν δείξει ότι οι μαθητές τείνουν να πιστεύουν ότι οι μεταβλητές είναι σύμβολα που αναπαριστούν μόνο φυσικούς αριθμούς ακόμη και όταν αυτό δεν ισχύει, λόγω της τάσης τους να εφαρμόζουν τη προϋπάρχουσα γνώση για τους φυσικούς αριθμούς σε καταστάσεις που αυτή δεν εφαρμόζεται –γνωστή ως «προκατάληψη του φυσικού αριθμού». Αποτέλεσμα αυτού είναι να θεωρούν ότι μια αλγεβρική παράσταση στην οποία εμφανίζονται μόνο θετικά πρόσημα θα αναπαριστά μόνο θετικούς αριθμούς και αντίστοιχα μία παράσταση που στους όρους της έχει μόνο αρνητικά πρόσημα θα αναπαριστά μόνο αρνητικούς αριθμούς. Στους συμμετέχοντες (178 μαθητές από την Α΄ τάξη γυμνασίου έως τη Γ΄ τάξη γυμνασίου) δόθηκε ένα ερωτηματολόγιο και τους ζητήθηκε να συμφωνήσουν ή να διαφωνήσουν με καθεμιά από τις 36 δηλώσεις σχετικά με τις τιμές (θετικές ή αρνητικές) που είχαν αποδοθεί στις συγκεκριμένες παραστάσεις. Οι παραστάσεις ήταν: φαινομενικά θετικές (π.χ. 8x+4), όπου όλοι οι όροι τους είχαν θετικό πρόσημο, φαινομενικά αρνητικές (π.χ. –x-4), όπου όλοι οι όροι τους είχαν αρνητικό πρόσημο και ουδέτερες ως προς το φαινομενικό πρόσημο (π.χ. 8x-4), όπου στους όρους τους εμφανίζονταν και το αρνητικό και το θετικό πρόσημο. Λαμβάνοντας υπόψη τις ερωτήσεις στις οποίες οι αλγεβρικές εκφράσεις είχαν εμφανές θετικό ή αρνητικό πρόσημο, τα αποτελέσματα υποστήριξαν την κύρια υπόθεση της μελέτης, δείχνοντας ότι οι μαθητές είχαν σημαντικά υψηλότερες επιδόσεις στις ερωτήσεις που ήταν σύμφωνες με τη διαισθητική τους πεποίθηση, ότι μόνο αριθμοί με το ίδιο πρόσημο με το φαινομενικό της κάθε παράστασης μπορεί να συνδέονται με την αλγεβρική παράσταση, παρά με τις ερωτήσεις που ήτανε αντίθετες σε αυτή την πεποίθηση. Στις παραστάσεις που δεν είχαν εμφανές φαινομενικό πρόσημο, οι μαθητές έτειναν να θεωρούν ότι το πρόσημο των τιμών που μπορούν να αποδοθούν στις παραστάσεις, ταυτίζονταν άλλοτε με το πρόσημο του μονωνύμου ή το πρόσημο του όρου με τον μεγαλύτερο αριθμητικό συντελεστή, ή το πρόσημο του πρώτου όρου. Θεωρητικές και διδακτικές προεκτάσεις συζητιούνται._____________________________________________________________________________________ This study focused on studying the phenomenal sign of algebraic expressions and specifically to test students’ numbers associations to algebraic expressions that have a salient positive or negative phenomenal sign and also when the expression does not have a salient phenomenal sign. Previous studies have shown that students tend to believe that variables are symbols that represent only natural numbers even when this is not the case, due to their tendency to apply pre-existing knowledge about natural numbers to situations where it does not apply - known as " the natural number bias phenomenon ". As a byproduct, they would tend to think that positive-like algebraic expression would stand for positive numbers only, and negative-like expressions would stand only for negative numbers. The participants (178 students from 7th to 9th grade) were given a questionnaire and were asked to agree or disagree with each of 36 statements about the numbers (either positive or negative) that were assigned to the given expressions. The expressions were: positive-like (e.g., 8x+4), where only positive signed components were involved; negative-like (e.g., -x-4) where only negative signed components involved; sign-neutral (e.g., 8x-4), where positive together with negative signed components were involved. Considering the tasks with algebraic expressions that had a salient positive or negative phenomenal sign, preliminary results supported the main hypothesis of the study, showing that students performed significantly higher in the tasks that were in-line with their intuitions that only numbers with the same sign as the phenomenal sign of each expression may be associated with the algebraic expression, than in the tasks that were against this belief. In the expressions that did not have an obvious apparent sign, the students tended to consider that the sign of the values that can be attributed to the representations was sometimes identified with the sign of the mononym or the sign of the term with the largest numerical factor, or with the sign of the first term. Theoretical and teaching extensions are discussed.