Η επίδραση του φαινομενικού προσήμου στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων: Μια διδακτική παρέμβαση με λανθασμένα παραδείγματα

Abstract

Η σημασία της κατανόησης εξισώσεων και των ανισώσεων από τους/τις μαθητές/τριες είναι μεγάλη, τόσο για την μετέπειτα πορεία τους στο σχολείο όσο και για την καθημερινή τους ζωή. Ωστόσο, πολλοί/ες μαθητές/τριες Γυμνασίου αντιμετωπίζουν δυσκολίες και παρανοήσεις που μειώνουν την ικανότητά τους να επιλύουν και να ερμηνεύουν με ακρίβεια εξισώσεις και ανισώσεις. Πληθώρα ερευνών σε μαθητές/τριες δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ανέδειξε την τάση των παιδιών να αντιμετωπίζουν τα γράμματα ως γενικευμένους αριθμούς τους οποίους όμως τείνουν να αντικαθιστούν με φυσικούς αριθμούς. Η τελευταία διαπίστωση μπορεί να ερμηνεύσει λάθη σε εξισώσεις και ανισώσεις τα οποία προκύπτουν ως αποτέλεσμα του τρόπου που οι μαθητές/τριες αντιλαμβάνονται τα αλφαβητικά σύμβολα που αναπαριστούν αγνώστους. Μια παρερμηνεία που προκύπτει από αυτή την τάση ονομάζεται «παρερμηνεία του φαινομενικού προσήμου» που είναι η τάση των παιδιών να θεωρούν πως το πρόσημο που φαίνεται να έχουν οι μεταβλητές ή οι παραστάσεις είναι το πραγματικό πρόσημο των αριθμών που μπορούν να αναπαραστήσουν. Η παρούσα εργασία επιχειρεί να διερευνήσει εάν κάποια λάθη των παιδιών σε εξισώσεις και ανισώσεις προέρχονται από την τάση τους να θεωρούν τα γράμματα ως σύμβολα που αναπαριστούν μόνο φυσικούς αριθμούς και την παρερμηνεία του φαινομενικού προσήμου. Επιπλέον, διερευνά αν μια διδακτική παρέμβαση με λανθασμένα παραδείγματα μπορεί να βοηθήσει τους/τις μαθητές/τριες να κάνουν λιγότερα τέτοια λάθη και τη συγκρίνει με μια παρέμβαση με ορθά λυμένα παραδείγματα. Λανθασμένα είναι τα παραδείγματα στα οποία γίνεται μια βήμα – προς – βήμα περιγραφή της μεθόδου επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος, όπου ένα ή περισσότερα βήματα περιέχουν συνήθη λάθη των παιδιών, όπως αυτά αναδεικνύονται από τη βιβλιογραφία. Στην έρευνα συμμετείχαν 109 μαθητές/τριες χωρισμένοι σε δυο ομάδες: την Ομάδα Παρέμβασης με Λανθασμένα και την Ομάδα Ελέγχου με Ορθά παραδείγματα. Η έρευνα περιλάμβανε τρεις φάσεις (προ-έλεγχος, μετά–έλεγχος και μεταγενέστερος έλεγχος). Ως εργαλεία χρησιμοποιήθηκαν τρία σχεδόν ίδια ερωτηματολόγια. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι η παρουσία της παρερμηνείας του φαινομενικού προσήμου και η τάση των μαθητών/τριων να θεωρούν τα γράμματα ως φυσικούς αριθμούς, είχαν ως αποτέλεσμα να μην μπορούν να βρουν λύσεις σε εξισώσεις και ανισώσεις. Η διδακτική παρέμβαση με λανθασμένα παραδείγματα ήταν το ίδιο αποτελεσματική με τη διδακτική παρέμβαση με ορθά λυμένα παραδείγματα, βοηθώντας τους/τις μαθητές/τριες να περιορίσουν τα λάθη που έκαναν στην εύρεση λύσεων τόσο στις εξισώσεις όσο και στις ανισώσεις. Παρόλα αυτά, η αποτελεσματικότητα της παρέμβασης δεν διατηρήθηκε τόσο υψηλή, έναν μήνα μετά. Θεωρητικές και παιδαγωγικές εφαρμογές συζητιούνται.________________________________________________________________________________________________________________The importance of students’ understanding of equations and inequalities is great, both for their subsequent course in school and for their daily life. However, many high school students face difficulties and misunderstandings that reduce their ability to solve and interpret equations and inequalities accurately. Numerous surveys have highlighted the tendency of children to treat letters as generalized numbers which they tend to replace with natural numbers. The latter finding may explain errors in equations and inequalities that arise as a result of the way students perceive alphabetic symbols representing unknowns. A misunderstanding that arises from this tendency is called “phenomenal sign bias” which is the tendency of children to think that the sign that variables or mathematical expressions seem to have is the actual sign of the numbers they can represent. This report aims to investigate whether some students’ errors in equations and inequalities stem from their tendency to regard letters as symbols representing only natural numbers and the “phenomenal sign bias”. In addition, it explores whether a teaching intervention with erroneous examples can help students make fewer such mistakes and compares it to an intervention with correctly worked examples. Erroneous called the examples in which a step-by-step description of the method of solving a mathematical problem is made, where one or more steps contain common mistakes of children, as they are highlighted in the literature. From the 109 9th grade students that participated in Pre/ Post/ Retention-test intervention study, experimental group received erroneous examples and control group received correctly worked examples. Three almost identical questionnaires were used. The results showed that the presence of the “phenomenal sign bias” and the students’ tendency to consider the letters as natural numbers, resulted in not finding solutions to equations and inequalities. Teaching intervention with erroneous examples was as effective as teaching intervention with applications, helping students to reduce the mistakes they made in finding solutions to both equations and inequalities. However, the results did not have a long-term effect. Theoretical and educational implications are discussed.