Αλγεβρικός συλλογισμός και Μαθηματική γενίκευση σε προβλήματα με κανονικότητες

Abstract

Η αναγνώριση και η γενίκευση μοτίβων αποτελεί βασικό συστατικό για την προσέγγιση της Άλγεβρας και την ανάδειξη και προώθηση του αλγεβρικού συλλογισμού. Η παρούσα εργασία μελετά τη σύνδεση της Μαθηματικής γενίκευσης και του αλγεβρικού συλλογισμού μέσα από προβλήματα κανονικοτήτων σε μαθητές Γυμνασίου. Σε 61 μαθητές από τις τρείς σχολικές βαθμίδες του Γυμνασίου χορηγήθηκε ένα δοκίμιο με δύο προβλήματα αναπτυσσόμενων γραμμικών κανονικοτήτων. Διερευνήθηκαν οι στρατηγικές που επινόησαν οι μαθητές για να απαντήσουν έργα κοντινής και μακρινής γενίκευσης, καθώς και πως διαφοροποιείται η χρήση των στρατηγικών αυτών ανά τύπο γενίκευσης. Επίσης διερευνήθηκε ο τρόπος (λεκτικός ή συμβολικός) με τον οποίο οι μαθητές αποδίδουν τους κανόνες γενίκευσης που κατασκεύασαν. Παράλληλα διερευνήθηκε και σε πιο βαθμό επιδρά στις απαντήσεις που δίνουν οι μαθητές, η σχολική βαθμίδα στην οποία ανήκουν. Τέλος, συνθέτοντας τα ευρήματα της μελέτης έγινε μια προσπάθεια να τονιστεί ο ρόλος των κανονικοτήτων ως μέσο ανάδειξης της αλγεβρικής σκέψης των μαθητών. Από τα αποτελέσματα της έρευνας έγινε φανερό ότι κάποιοι μαθητές, κυρίως από την Γ΄ Γυμνασίου, μπορούν να γενικεύσουν αλγεβρικά και να εκφράσουν τις γενικεύσεις τους συμβολικά. Οι περισσότεροι μαθητές όμως οδηγήθηκαν σε λεκτική περιγραφή αναδρομικών σχέσεων και δεν διατύπωσαν το pattern σε μια γενικευμένη μορφή μέσω της χρήσης συμβόλων. The recognition and generalization of patterns is a key component of the approach to Algebra and the emergence and promotion of algebraic reasoning. The present study explores the relationship between Mathematical Generalization and Algebraic reasoning through problems with patterns in high school students. 61 students from the three grades of a Greek Gymnasium were given a test with two problems of growing linear patterns. We explored the strategies devised by students to respond to items of near and far generalization, and how the use of these strategies varied by type of generalization. The study, also, examined the ways (verbal or symbolic) students use to express the generalization rules they constructed and to which extent the grade they belong to, influenced the responses given by students. Finally, by compiling this study's findings, an attempt was made to emphasize on the role of patterns as a means of highlighting students' algebraic thinking. From the results of the research it became clear that some students, mainly from the 3rd grade of the Gymnasium, could generalize algebraically and express their generalizations symbolically. Most students, however, were led to a verbal description of retrospective relationships and did not formulate the pattern in a generalized form through the use of symbols.