Το Πέρασμα από την Αριθμητική στην Άλγεβρα και ο Ρόλος του Μηδενός: Επιστημολογικά και Διδακτικά Ζητήματα

Abstract

Υπάρχει το «τίποτα»; Το «κενό» έχει ιδιότητες; Πώς μπορεί ο μαθητής να δώσει υπόσταση και να περιλάβει στις διαδικασίες σκέψης του το «μηδέν»; Στόχος της εργασίας αυτής είναι να μελετηθεί η συμπεριφορά μαθητών ηλικίας 12-13 ετών στην κατανόηση του μηδενός και στις διαδικασίες όπου αυτό εμπλέκεται καθώς βιώνουν τη μετάβαση από την αριθμητική στην άλγεβρα. Είναι γεγονός ότι η κατανόηση της έννοιας του μηδενός, των ιδιοτήτων του καθώς και η ευχέρεια να το χρησιμοποιούν οι μαθητές στις πράξεις της αριθμητικής παρέχει μια βάση για την ανάπτυξη της αφηρημένης μαθηματικής κατανόησης, που είναι απαραίτητη για να προχωρήσουν όχι μόνο στην ανώτερη άλγεβρα, στον λογισμό και τα ανώτερα μαθηματικά αλλά γενικότερα στην επιστήμη και στις επιλογές σταδιοδρομίας. Έπειτα από μια σύντομη αναδρομή στην ιστορική, ψυχολογική και σημειωτική διαδρομή του μηδενός στην ιστορία της ανθρωπότητας και στη συνέχεια στο πεδίο της γνωσιακής επιστήμης, μέσω της έννοιας της δημιουργικής εννοιολογικής μεταφοράς επιχειρείται να εξεταστεί εάν και πως οι μαθητές διαμορφώνουν το μαθηματικό νόημα του μηδενός. Ως τεκμήρια αξιοποιήθηκαν ερωτηματολόγια σε μαθητές της τελευταίας τάξης του Δημοτικού σχολείου και της πρώτης τάξης του Γυμνασίου, σχολείων της Θεσσαλονίκης. Σκοπός της εργασίας υπήρξε αφενός να εξεταστεί κατά πόσο οι μαθητές αναγνωρίζουν τον κεντρικό ρόλο του μηδενός στις πράξεις και να μελετηθεί εάν έχουν αναπτύξει γνωσιακές ικανότητες μεταφοράς και μετασχηματισμού της έννοιας του. Αφετέρου, να μελετηθούν οι αντιλήψεις τους για το ρόλο του μηδενός στις αλγεβρικές γενικεύσεις και την επίσημη συμβολική παρουσίαση. Μέσω των παραπάνω είναι δυνατό να απαντηθεί εάν η μοναδικότητα του μηδενός, παιδαγωγικά, αντιμετωπίζεται επιφανειακά ή έχει τη βαθύτερη και γενικότερη σημασία που της πρέπει. Τα δεδομένα της παρούσας έρευνας δείχνουν ότι σημαντικός αριθμός μαθητών και στις δυο βαθμίδες της εκπαίδευσης δεν αναγνωρίζει τη σημασία και τη σπουδαιότητά του και κάνει σημαντικά λάθη όταν έχει να αντιμετωπίσει το μηδέν. Η πρώιμη και διαισθητική κατανόηση του μηδενός ως αναπαράσταση κενού συνόλου, από τους μαθητές, φάνηκε ότι δεν συνεπάγεται την ανάπτυξη γνωστικών διαδικασιών που απαιτούνται για την πολυπλοκότητα της χρήσης του στις πράξεις, στην άλγεβρα και στα ανώτερα μαθηματικά.Does “anything” exist? Does the “vacuum” have properties? How can a student conceive and then comprise the concept of “zero” in his thinking? The aim of this essay is to study the behaviour of students aged 12-13, towards their understanding of the concept of “zero”, during their transition from arithmetic to algebra. It is known that the comprehension of the concept of “zero”, of its properties but as well as the ease of the students to use it in arithmetic operations, provides the basis for the development of abstract mathematical comprehension, which is in turn essential for the students’ transition to higher algebra, calculus and mathematics but most importantly to science and career choices. After a brief recall to the historical, psychological, and semiotic course of zero in the history of mankind and then in the field of cognitive science, it is attempted to examine whether and how the students shape the mathematical meaning of zero, through the concept of a creative conceptual metaphor. Questionnaires of students from Greek schools, of the last grade of primary school and of the first grade of Gymnasium, were used as evidence. The first aim of the essay was to examine the degree in which students perceive the central role of zero in mathematical operations along with their capability to transfer and transform its concept. The second aim of the essay was to study their comprehension regarding the role of zero in algebraic generalizations and in symbolic representation. Combining the results of these aims, will allow us to answer whether the unique nature of zero, in pedagogical terms, is dealt superficially or in a more sensible way, as it should. The results obtained from this survey showed that a significant number of students, from both levels of education, do not recognize neither its meaning nor its significance, and they also make crucial mistakes when dealing with zero. The contribution of zero in the development of algebraic thinking seems to be important, as the premature and intuitive understanding of zero as a representation of an empty set by the students, does not entail the development of cognitive processes, which are with their turn required for the complexity of its use in algebraic and higher mathematical operations.