Επίλυση Ανοιχτών και Κλειστών Προβλημάτων σε μαθητές ηλικίας 11-12 ετών

Abstract

Η παρούσα έρευνα πραγματοποιήθηκε με σκοπό να διερευνήσει τις ικανότητες των μαθητών ηλικίας 11-12 ετών κατά την επίλυση ανοιχτών και κλειστών προβλημάτων στα μαθηματικά. Ειδικότερα, εξετάστηκε ποιες από τις ικανότητες επίλυσης κλειστών προβλημάτων έχουν αναπτύξει οι μαθητές, ποιες από τις ικανότητες επίλυσης ανοιχτών προβλημάτων καθώς και το πώς σχετίζονται οι δύο αυτές ομάδες ικανοτήτων μεταξύ τους. Στην έρευνα συμμετείχαν 100 μαθητές Στ΄ δημοτικού οι οποίοι κλήθηκαν να λύσουν ένα κλειστό και ένα ανοιχτό πρόβλημα ακολουθώντας τα τέσσερα στάδια επίλυσης προβλήματος του Polya και να απαντήσουν σε τέσσερις ερωτήσεις για κάθε πρόβλημα που σκοπό είχαν τη διερεύνηση των μεταγνωστικών ικανοτήτων. Οι ικανότητες που διερευνήθηκαν ήταν οι εξής: για το 1ο στάδιο, η ικανότητα εντοπισμού δεδομένων και ζητούμενων και η οπτική αναπαράσταση του προβλήματος, για το 2ο στάδιο, η ικανότητα δημιουργίας σχεδίου λύσης θέτοντας ενδιάμεσους στόχους και η ικανότητα επιλογής κατάλληλης στρατηγικής, για το 3ο στάδιο, η ικανότητα πραγματοποίησης σωστών πράξεων, η δημιουργική ικανότητα, κι επιπλέον, σε όσους έδωσαν σωστή λύση, η ικανότητα επιλογής ενός οικονομικού και ενός ποιοτικού τρόπου λύσης, και τέλος, για το 4ο στάδιο, η ικανότητα ελέγχου της ορθότητας της λύσης και η ικανότητα κριτικής σκέψης, μέσω της διερεύνησης του αν η λύση που δόθηκε ήταν λογική. Διαπιστώθηκε ότι η ικανότητα εντοπισμού δεδομένων και ζητούμενων και η ικανότητα οπτικής αναπαράστασης του προβλήματος έχουν αναπτυχθεί ως ένα βαθμό καθώς και στα δύο προβλήματα. Επίσης, αναδείχθηκε ότι η ικανότητα δημιουργίας σχεδίου λύσης δεν έχει κατακτηθεί ακόμα και, κατ’ επέκταση, λίγοι ήταν οι μαθητές που φάνηκε να επέλεξαν στο συγκεκριμένο στάδιο τη σωστή στρατηγική με την οποία θα λύσουν τα δύο προβλήματα. Ακόμα, η συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών έχει αναπτύξει την ικανότητα πραγματοποίησης σωστών υπολογισμών και οι περισσότεροι από όσους έλυσαν σωστά είτε το κλειστό, είτε το ανοιχτό πρόβλημα, είτε και τα δύο, ακολούθησαν έναν οικονομικό τρόπο λύσης ενώ αρκετοί ήταν αυτοί που πρότειναν λύση χαμηλής ποιότητας στο ανοιχτό πρόβλημα. Αναφορικά με την ικανότητα δημιουργικής σκέψης, φάνηκε ότι δεν έχει αναπτυχθεί ακόμα από την πλειοψηφία των μαθητών αλλά παρατηρήθηκε ότι προωθήθηκε περισσότερο κατά τη λύση του ανοιχτού προβλήματος. Ακόμα, οι περισσότεροι από όσους ακολούθησαν το 4ο στάδιο φάνηκε να έχουν αναπτύξει αρκετά την ικανότητα να επαληθεύουν την 6 ορθότητα της λύσης τους ενώ η κριτική σκέψη βρίσκεται ακόμα υπό ανάπτυξη. Επιπρόσθετα, οι περισσότεροι μαθητές έχουν αναπτύξει τη μεταγνωστική ικανότητα της δηλωτικής γνώσης και την ικανότητα γνώσης υπό όρους. Ακόμα, φάνηκε ότι λίγοι είναι οι μαθητές που έχουν μεταγνωστική επίγνωση και λιγότεροι από τους μισούς μαθητές που δήλωσαν σίγουροι για την ορθότητα της λύσης τους έλυσαν σωστά το κλειστό πρόβλημα και λίγο περισσότεροι από τους μισούς που δήλωσαν βεβαιότητα για τη λύση τους στο ανοιχτό πρόβλημα τα έλυσαν πράγματι σωστά, αναδεικνύοντας ότι δεν έχουν αναπτύξει ακόμα τη μεταγνωστική ικανότητα της αξιολόγησης._________________________________________________________The present research was conducted in order to investigate the skills of 11-12 years old students in solving open-ended and closed problems in mathematics. In particular, it was examined which of the problem-solving skills of closed problems the students have developed, which of the problem-solving skills of open-ended problems they have developed, as well as how these two groups of skills are related to each other. The study involved 100 primary school students who were asked to solve a closed and an open-ended problem following the four problem-solving stages of Polya and to answer four questions for each problem aimed to explore metacognitive skills. The skills that were investigated are the following: at the 1st stage, the ability to identify data of the problem and the visual representation of the problem, at the 2nd stage, the ability to create a solution plan by setting intermediate goals and the ability to choose an appropriate strategy, at the 3rd stage , the ability to perform correct mathematical operations, the creative ability, and in addition, to those who gave the right solution, the ability to choose an economical and a qualitative solution, and finally, at the 4th stage, the ability to check the correctness of the solution and the critical thinking ability, by investigating whether the solution given was logical. It was found that the ability to locate data and the ability to visually represent the problem have been developed to some degree in both problems. It also turned out that the ability to create 7 a solution plan has not been mastered and consequently, only few students seemed to have chosen, at this stage, the right strategy to solve the two problems. In addition, the vast majority of students have developed the ability to make correct calculations and most of those who correctly solved either the closed or the open problem, or both, followed an economical way of solving while many were those who suggested a low quality solution to the open-ended problem. Regarding the ability of creative thinking, it seemed that it has not yet been developed by the majority of students, but it was observed that it was further promoted in solving the open-ended problem. Moreover, most of those who followed the 4th stage seemed to have developed considerable ability to verify the correctness of their solution while critical thinking is still under development. Furthermore, most students have developed the metacognitive ability of declarative knowledge and the ability of conditional knowledge. It appeared that not many students are metacognitively aware and less than half of the students who said they were sure of the correct solution regarding the closed problem solved it, indeed correctly. Moreover, a little more than half of the students who said they were sure of the solution to the open-ended problem solved it, indeed correctly, showing that they have not yet developed the metacognitive capacity of evaluation, showing that they have not yet developed the metacognitive capacity of evaluation.