Διερεύνηση της κατανόησης μαθητών Β΄ Γυμνασίου για τους αρνητικούς αριθμούς

Abstract

Η εννοιολογική κατανόηση και η διαδικαστική ευχέρεια σχετικά με τους αρνητικούς αριθμούς αποτελεί θεμέλιο για την Άλγεβρα. Οι μαθητές φαίνεται να συναντούν εμπόδια, που σχετίζονται με την αφηρημένη φύση των αρνητικών αριθμών, τα σύμβολα, αλλά και την εστίαση της διδασκαλίας σε διαδικασίες. Για τη βελτιωμένη διδασκαλία των αρνητικών αριθμών, είναι σημαντικό να διαπιστωθεί τι είναι αυτό που δυσκολεύει τους μαθητές και να αναδειχθεί ο τρόπος σκέψης τους. Στόχος της παρούσας έρευνας είναι η διερεύνηση της γνώσης και του τρόπου σκέψης των μαθητών Γυμνασίου στους αρνητικούς αριθμούς. Έτσι, διερευνάται το αν οι μαθητές Γυμνασίου έχουν ενσωματώσει τους αρνητικούς αριθμούς ως ισότιμα μέλη της κατηγορίας «αριθμός», με ποιους τρόπους τους νοηματοδοτούν και αν υπάρχει διάσταση ανάμεσα στην εννοιολογική και διαδικαστική γνώση τους για τις πράξεις ακεραίων. Η μέθοδος που επιλέχθηκε για την έρευνα είναι ποιοτική και το εργαλείο συλλογής δεδομένων είναι η συνέντευξη βασισμένη σε έργα. Υλοποιήθηκαν 20 συνεντεύξεις με μαθητές της Β΄ Γυμνασίου ενός δημοσίου σχολείου του νομού Θεσσαλονίκης. Τα ευρήματα της έρευνας δείχνουν πως οι περισσότεροι μαθητές δεν σκέφτηκαν αυθόρμητα αρνητικούς αριθμούς ως πιθανές τιμές μίας μεταβλητής ή στη θέση ενός «άγνωστου αριθμού», ειδικά στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού. Η προκατάληψη του φυσικού αριθμού (π.χ. η πεποίθηση πως το 0 είναι ο μικρότερος αριθμός, και η πεποίθηση πως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός σημαίνουν αύξηση), οδήγησαν σε λάθη και προβληματισμούς. Οι μαθητές για την έννοια των αρνητικών αριθμών, εστίασαν στη σύγκρισή τους με το 0 και τη θέση τους στην αριθμογραμμή, και άντλησαν ερμηνείες για αυτούς πρωτίστως, αλλά όχι αποκλειστικά, από το σχολικό πλαίσιο. Στη διάταξη των αριθμών, ιδιαίτερο ρόλο διαδραμάτισε η σύγκριση με το 0, η απόλυτη τιμή του αριθμού και η χρήση της αριθμογραμμής. Η ερμηνεία του συμβόλου μείον επηρέασε τη σκέψη των μαθητών, καθώς ερμήνευσαν το μείον περισσότερο ως αφαίρεση, παρά ως πρόσημο ή δυσκολεύτηκαν στη διαχείριση δύο συμβόλων μείον μαζί. Επιπλέον, φάνηκε να δυσκολεύονται στη διατύπωση προβλημάτων με αρνητικούς αριθμούς, καθώς ορισμένοι μόνο έδωσαν ένα σωστό πρόβλημα για μία δοσμένη πράξη, και λίγοι χρησιμοποίησαν τα προβλήματα για την ερμηνεία των αρνητικών αριθμών. Αναφορικά με τις πράξεις ακεραίων, οι μαθητές σε γενικές γραμμές εκτέλεσαν τις πράξεις, όμως οι περισσότεροι δε μπόρεσαν να εξηγήσουν επαρκώς τις πράξεις πέραν από τη χρήση των κανόνων των προσήμων, γεγονός που υποδηλώνει πως η διαδικαστική γνώση υπερτερεί της εννοιολογικής γνώσης στις πράξεις με ακεραίους. Γενικά, τα ευρήματα της έρευνας συμβαδίζουν με αρκετά από τα ευρήματα των ερευνών της βιβλιογραφίας που μελετήθηκαν__________________________________________________ _________________________________________________ Conceptual understanding and procedural fluency about negative numbers is a foundation for algebra. Students seem to encounter barriers related to the abstract nature of negative numbers, symbols, and also the fact that instruction emphasizes procedures, rather than concepts pertaining to negative numbers. In order to improve teaching of negative numbers, it is important to find out what makes it difficult for students and to bring out their way of thinking. The aim of this research is to investigate middle school students’ knowledge of, and way of thinking about negative numbers. Thus, we investigated whether middle school students extended the category of number to include negative numbers as full-fledged members; how they assign meaning to negative numbers; and whether there is a gap between their conceptual and procedural knowledge of integer operations. The method chosen for the research is qualitative and the data was collected via individual task-based interviews. Twenty Grade 8 students of a public school in the area of Thessaloniki participated in the study. The findings of the study show that most students did not think spontaneously of negative numbers as possible values of a carriable, or an “unknown number”, particularly when multiplication was involved. The natural number bias (i.e., the belief that 0 is the smallest number, and the belief that addition and multiplication “mean bigger”), led to difficulties and errors. When describing negative numbers, students focused on comparison with 0 and the position on the number line, and indicated that they assign meaning to negative numbers mostly, albeit not exclusively, from school contexts. While ordering integers, they used the comparison with 0, the absolute value of the number and the number line. The interpretation of the minus sign affected students' thinking, as they interpreted minus as subtraction rather than as a sign of polarity and had difficulty managing two minus signs in a row. In addition, they appeared to have difficulty constructing problems with negative numbers, as only few students gave a correct problem for a given operation, and few used the problems to interpret negative numbers. Regarding the operations with integers, students performed correctly most of the given operations, but most of them were unable to explain the operations without evoking the rules, which suggests that procedural knowledge of operations is stronger than conceptual knowledge. In general, the findings of this study are consistent with research findings in the literature