Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων και επιδημιολογικά μοντέλα

Abstract

Οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό κομμάτι της μαθηματικής ανάλυσης και όχι μόνο, καθώς εφαρμογές τους συναντώνται σε διάφορους κλάδους των θετικών επιστημών όπως τη Φυσική, τη Χημεία και τη Βιολογία. Πολλοί από τους νόμους που διέπουν τη συμπεριφορά του φυσικού κόσμου αποτελούν σχέσεις οι οποίες εκφράζονται μαθηματικά μέσω των διαφορικών εξισώσεων. Διαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε πολλές περιοχές της επιστήμης και τεχνολογίας. Η επίλυση των προβλημάτων όμως δεν είναι πάντα εφικτή ή απαιτεί αρκετό υπολογιστικό έργο. Τη λύση στις περιπτώσεις αυτές δίνουν οι υπολογιστικές μέθοδοι, μέσω των οποίων υπολογίζεται μία προσεγγιστική τιμή της λύσης με τη βοήθεια της χρήσης των υπολογιστών. Κάθε χρόνο, σε όλον το κόσμο, εκατοντάδες άνθρωποι πεθαίνουν από μεταδοτικές ασθένειες, όπως ιλαρά, γρίπη και φυματίωση. Η μαθηματική μοντελοποίηση μεταδοτικών ασθενειών είναι ένα εγχειρίδιο για τη δημόσια υγεία μιας και αποτελεί χρήσιμο εργαλείο για την εξαγωγή συμπερασμάτων και πρόβλεψη συμπεριφοράς των ασθενειών. Σημαντικός παράγοντας στην μαθηματική μοντελοποίηση μεταδοτικών ασθενειών είναι ο βασικός αριθμός αναπαραγωγής που έχει οριακή συμπεριφορά. Εάν ο μέσος αριθμός των δευτερογενών λοιμώξεων που προκαλούνται από ένα μολυσματικό άτομο είναι μικρότερος από τη μονάδα τότε μια ασθένεια θα εξαφανιστεί, ενώ αν είναι μεγαλύτερος από τη μονάδα τότε θα υπάρξει επιδημία για τα μοντέλα επιδημίας ή αντίστοιχα για τα ενδημικά μοντέλα μια ασθένεια θα γίνει ενδημική.